En Las Leyes, 757b/d, Platón analiza «dos clases de igualdad». «Una de ellas… es la igualdad de medida, peso o número (es decir, igualdad numérica o aritmética); pero la verdadera y la mejor igualdad… es la que distribuye más a los mayores y menos a los más pequeños, dando a cada uno la medida debida, de acuerdo con la naturaleza… Al concederle mayores honores a quienes son superiores por sus virtudes, y menores a quienes son inferiores en virtud y origen, distribuye a cada uno lo apropiado, de acuerdo con este principio de las proporciones (racionales). y es esto precisamente lo que llamaremos «justicia política». Y quienquiera que funde un Estado hará de éste el único objetivo de su legislación… A saber, esta justicia que, como decimos, es la igualdad natural y que se distribuye según lo requiere la situación entre los desiguales». La segunda de estas dos igualdades, que constituye lo que Platón llama «justicia política» (y lo que Aristóteles denomina «justicia distributiva») y que Platón describe (y también Aristóteles) como «igualdad proporcional» —la mejor, la más verdadera y natural de las igualdades— recibió posteriormente el nombre de «geométrica» […] en oposición a la
primera, esto es, la igualdad inferior y democrática que se llamó «aritmética». […]
De acuerdo con la tradición […], sobre la puerta de la Academia de Platón se veía la siguiente leyenda: «¡El que no sepa geometría que no entre en esta casa!», Sospecho que esta inscripción no quiere poner el acento tan sólo en la importancia de los estudios matemáticos, sino que también significa lo siguiente: «La aritmética (o, mejor dicho, la teoría pitagórica del número) no es suficiente; también debéis conocer la geometría». A continuación trataré de explicar las razones que tengo para creer que esta última frase resume correctamente una de las más importantes contribuciones de Platón a la ciencia helénica. […]
(3) En el Timeo, Platón necesita para la construcción de los Cuerpos Primarios un Cuadrado Elemental y un Triángulo Equilátero Elemental. Estas dos Figuras se hallan compuestas, a su vez, de dos tipos diferentes de triángulos subelementales, a saber, el equivalente a la mitad de un cuadrado que introduce la √2 y el equivalente a la mitad de un triángulo equilátero que introduce la √3. […]
Y bien, no puede caber ninguna duda de que existe una referencia a cierta conjetura no probada en el mismo pasaje del Timeo en que Platón se refiere a la razón que tuvo para elegir sus triángulos subelementales, pues expresa (Timeo, 53c/d): «Todos los triángulos derivan de dos, cada uno de los cuales tiene un ángulo recto…; de estos triángulos, uno (la mitad de un cuadrado) tiene a cada lado la mitad de un ángulo recto … y lados iguales; el otro (el escaleno)… tiene lados desiguales. Supondremos que estos dos constituyen los principios primordiales… de acuerdo con una explicación que combina la probabilidad (o la conjetura probable) con la necesidad (la prueba). Principios como éste y aun otros más remotos todavía, son conocidos por el cielo y por aquellos hombres a quienes aquél ha favorecido». […]
Quizá pueda deducirse una razón adicional para nuestra interpretación —razón de la cual no hay datos ciertos en el texto platónico— de la siguiente consideración: es un hecho curioso que √2 +√3 se aproxime estrechamente al valor de π. […] Existen, pues, dos modos por los cuales Platón podría haber descubierto la ecuación √2 +√3 = π y el segundo parece casi ineludible. Resulta plausible entonces que Platón conociera esta ecuación pero ignorando si se trataba de una igualdad exacta o tan sólo de una aproximación. Pero siendo esto así, quizá podamos responder a la «segunda pregunta» mencionada más arriba, en (3), es decir, por qué Platón compuso su cuadrado elemental de cuatro triángulos subelementales (mitades del cuadrado) en lugar de dos, y su triángulo equilátero elemental de seis triángulos subelementales (mitades de equilátero), en lugar de dos. Si examinamos las dos primeras figuras que reproducimos a continuación, veremos que la construcción da realce al centro de los círculos circunscritos e inscritos y, en ambos casos, a los radios del círculo circunscrito. (En el caso del triángulo equilátero, también aparece el radio del círculo inscrito, pero parecería que Platón hubiera estado pensando en el círculo circunscrito, puesto que lo menciona explícitamente en su descripción del método de composición del triángulo equilátero con el nombre de «diagonal», véase el Timeo, 54d/e; véase, asimismo, 54b).
Si ahora trazamos estos dos círculos circunscritos o, más específicamente, si inscribimos el cuadrado y el triángulo equilátero elementales en un círculo de radio r, hallaremos que la suma de los lados de estas dos figuras se aproxima a rπ; en otras palabras, la construcción de Platón sugiere una de las soluciones aproximadas más simples de la cuadratura del círculo, como lo demuestran nuestras tres figuras. En vista de todo esto, bien podría suceder que la conjetura de Platón y su ofrecimiento de «un premio con toda nuestra buena voluntad» —de que hablamos en (3)— se hubieran referido no sólo al problema general de la conmensurabilidad de los irracionales, sino también al problema especial de si a partir de √2 +√3 se puede llegar o no a la cuadratura del círculo.
Popper, Karl (2006). La sociedad abierta y sus enemigos. Barcelona: Paidós, 561-2, 564-7.
ISSN 2605-3489
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