Cantidades continuas y discretas

Badiou opta por la definición de los números reales según el método de cortaduras de Dedekind y estudia el teorema fundamental de la ontología del número, el teorema de existencia de un número único a partir de la reflexión de Dedekind sobre el concepto de continuidad, que establece una comparación entre los números racionales y los puntos de la recta L. Evidentemente existe una infinidad de puntos que no corresponden a ningún número racional. La cuestión que se plantea es, por lo tanto, cómo se introducen los números irracionales para que el campo de los números adquiera la misma compleción (continuidad) que la línea recta.

La estrategia de Dedekind para encarar el problema es puramente aritmética. Había que desarrollar la demostración de manera puramente aritmética, sin referencia a la geometría, ni a la intuición. […]

No se trata, pues, de rellenar los agujeros que quedan vacíos entre los números racionales, sino de preguntarse por la naturaleza de esa continuidad. Y como cada punto de una recta produce una separación en dos porciones, tal que cada punto de una porción esté situado a la izquierda, A, de cada otra porción, B, Dedekind demuestra que existe un único punto que produce esa separación: la «cortadura». Supongamos, entonces, que en la parte A hay un número máximo o en B un mínimo. La cortadura define, en consecuencia, un número racional; si no hay máximo ni mínimo, entonces define un número irracional. V. gr., si en A todos los números racionales negativos, el cero y todos los números racionales positivos cuyos cuadrados son menores que 2 (A = Q ¯ ⋃ Ø ⋃ (Q+)²<2), y en B todos los números racionales positivos cuyos cuadrados son mayores que 2 (B = (Q+)²>2), entonces queda definido un número irracional que se escribe como √2. Se define la cortadura Q= A ∪ B si A ∩ B = Ø. Sólo queda por demostrar que el conjunto de todas las cortaduras es el sistema numérico.