Trabajar sin plano en Geometría es como jugar al ajedrez sin mirar al tablero

Área de la esferaHace cuarenta años N. A. Izwolski, el entonces famoso pedagogo-matemático, en un artículo dedicado a la enseñanza de la geometría, reprodujo una charla característica que se entabló entre él y una alumna conocida. […] El pedagogo preguntó a su interlocutora qué recordaba ella del curso de geometría. La muchacha pensó mucho, pero no pudo recordar nada. La pregunta fue planteada de otra forma: «¿Qué hacían Uds. todo el año en las lecciones de geometría?». La respuesta fue rápida: «Demostrábamos». La respuesta era poco inteligible, pero reflejaba en su inocencia aquellas nociones que reinan en las cabezas de muchos alumnos: en aritmética se resuelven problemas, en álgebra se resuelven ecuaciones y, además, se deducen fórmulas, y en geometría, se demuestran teoremas. Cabe decir que tales ideas sobre la estructura de las matemáticas ya hace tiempo dejaron de corresponder al estado de esta ciencia. En las investigaciones matemáticas de nuestro tiempo, no importa si se trata de números o de figuras, el título «teorema» seguido por la demostración del mismo, puede encontrarse con igual frecuencia. En todos los sectores de las matemáticas se resuelven problemas y no es del todo raro que en geometría hay que recurrir a la solución de las ecuaciones. De otra forma era hace 2.000 años, cuando se terminaba la creación de la llamada geometría de Euclides que hasta ahora constituye la base del curso escolar. Desde aquel entonces y hasta los manuales escolares modernos la geometría (precisamente geometría y no otras disciplinas matemáticas) se expone como una cadena de teoremas (algunos de ellos se llaman lemas o corolarios) construidos de acuerdo con un plan tan conocido que basta limitarnos a un breve recordativo. Cada teorema contiene la hipótesis («dado…») y la conclusión («se pide demostrar…»); al demostrar, se puede citar sólo axiomas o teoremas demostrados antes; no podemos apoyarnos ni en la «evidencia», que a veces nos engaña, ni en los teoremas aunque fueran ciertos, pero no demostrados (ya que los últimos pueden, a su vez, apoyarse en el teorema que se demuestra, y, entonces, se obtiene un «círculo lógico»).[…]

No se debe exagerar ni reducir el papel del plano. Sería exagerado considerar el plano como parte integrante necesaria de la demostración. Cualquier demostración geométrica puede llevarse a cabo teóricamente sin recurrir a plano alguno y esto tendría, incluso, un aspecto positivo suprimiendo referencias a la «evidencia» que a veces suele ser aparente y sirve de fuente de los errores. Sin embargo, en la práctica la renuncia al plano llevaría a las mismas dificultades que tendríamos al desear, por ejemplo, que los cálculos sobre números polidígitos siempre se realicen mentalmente (o, para tomar un ejemplo de un dominio más alejado, jugar al ajedrez sin mirar al tablero): en este caso el peligro de equivocarse aumentaría considerablemente.

Dubnov, Y. S. (1993). Errores en las demostraciones geométricas. Madrid: Rubiños, 5-7.

 

revistametabasis.com

ISSN 2605-3489

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