Parece ser que la pregunta geopolítica crucial es: ¿será capaz Bolsonaro de tomar partido por Trump en su guerra comercial contra China y, de paso, salirse de los BRICS? El grupo conocido como BRICS, nombre que se corresponde con las iniciales de los países integrantes, Brasil, Rusia, India, China y Sudáfrica. Nunca fue un grupo homogéneo, para decirlo poéticamente repitiendo a Borges «no nos une el amor sino el espanto». Un grupo que tuvo importancia en tiempos de auge de las economías emergentes, hoy en retroceso, no hace falta saber mucho de política internacional para ver que entre China y la India, es mucho más lo que los separa y enfrenta que lo que los une.
De hecho en estos tiempos el papel voluntario o involuntario asignado a la India, por Estados Unidos, consiste en ser un freno a China y a sus deseos expansionistas en Asia. La India considera y asi lo ha manifestado, la base militar China en Djibouti, una amenaza a su territorio. Henry Temple, más conocido como Lord Palmerston, cronológicamente anterior a Disraeli, dijo: «No tenemos (Inglaterra) aliados eternos, y no tenemos enemigos perpetuos. Nuestros intereses son eternos y perpetuos, y nuestra obligación es vigilarlos». Los grupos, los gobiernos y las siglas van y vienen.

Veisaga, Ricardo (2019), Jair Bolsonaro y la dialéctica de Imperios, Revista Metábasis, Nº 2, 63.76.

Porque si «cierre» no es aislamiento o clausura, el hecho de que la Química clásica, lejos de tener que permanecer aislada o clausurada en un campo y escala definidos por la tabla periódica, haya entrado en comunicación con la teoría del calor, con la teoría de la electricidad, y haya sido «inundada» por la teoría atómica, no significa que su cierre categorial se haya roto o se haya desvanecido. Por el contrario, ese cierre permanece en la misma medida en la que permanecen los eslabones de la cadena, los elementos químicos (como la Genética permanecerá en la misma medida en que permanezcan los «eslabones» genotípicos). Que estos elementos no sean átomos simples y primitivos no quiere decir que sus configuraciones hayan desaparecido […].

La tesis de la finitud de los círculos trazados por los cierres categoriales no concuerda con los proyectos de una «ciencia unitaria universal» (supuesto un Universo, si no infinito, si, al menos, inmenso y dotado de unicidad). La tesis de la finitud concuerda mejor con la concepción categorial de la ciencia, con el reconocimiento de la multiplicidad de cierres categoriales, sin perjuicio de los problemas que esta multiplicidad suscita en todo cuanto concierne al entendimiento de las relaciones entre las diversas categorías y, en particular, a las paradójicas relaciones (a las que acabamos de referirnos) de «autonomía» que un círculo categorial mantiene con círculos categoriales de otra escala y de radio más amplio que le envuelven. Las mismas unidades categoriales tampoco tienen por qué entenderse como «recortadas» por un único círculo; la unidad categorial del campo de una ciencia no tiene por qué ser una unidad homogénea, uniforme. Es la unidad resultante de las intersecciones y encadenamientos de círculos diversos de concatenación (objetuales y, por tanto, proposicionales) que «cierran», a su vez, dentro del campo categorial. Los campos categoriales tienen, por ello, una estructura «glomerular», «arracimada», no homogénea. Y ello incluso cuando nos referimos a la Geometría euclidiana elemental, en cuyo campo están dibujados, ya desde su origen, diferentes «familias» (o «redes») de teoremas, familias o redes relativamente autónomas, sin perjuicio de su entretejimiento mutuo posterior. (Advirtamos que si hablamos de «teoremas» y de «redes de teoremas» y no de «teorías» o de «redes de teorías» —al modo del estructuralismo de Sneed o Stegmüller— es porque nos referimos a las ciencias efectivas, en cuanto ciencias consolidadas específicamente, y no a las ciencias en cuanto construcciones que tienen de común con otras «instituciones culturales» el construir también teorías y redes de teorías —pero no de teoremas—, según hemos dicho).

Bueno, Gustavo (1993). Teoría del Cierre Categorial, Tomo 5. Oviedo: Pentalfa 135-7.

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Hace cuarenta años N. A. Izwolski, el entonces famoso pedagogo-matemático, en un artículo dedicado a la enseñanza de la geometría, reprodujo una charla característica que se entabló entre él y una alumna conocida. […] El pedagogo preguntó a su interlocutora qué recordaba ella del curso de geometría. La muchacha pensó mucho, pero no pudo recordar nada. La pregunta fue planteada de otra forma: «¿Qué hacían Uds. todo el año en las lecciones de geometría?». La respuesta fue rápida: «Demostrábamos». La respuesta era poco inteligible, pero reflejaba en su inocencia aquellas nociones que reinan en las cabezas de muchos alumnos: en aritmética se resuelven problemas, en álgebra se resuelven ecuaciones y, además, se deducen fórmulas, y en geometría, se demuestran teoremas. Cabe decir que tales ideas sobre la estructura de las matemáticas ya hace tiempo dejaron de corresponder al estado de esta ciencia. En las investigaciones matemáticas de nuestro tiempo, no importa si se trata de números o de figuras, el título «teorema» seguido por la demostración del mismo, puede encontrarse con igual frecuencia. En todos los sectores de las matemáticas se resuelven problemas y no es del todo raro que en geometría hay que recurrir a la solución de las ecuaciones. De otra forma era hace 2.000 años, cuando se terminaba la creación de la llamada geometría de Euclides que hasta ahora constituye la base del curso escolar. Desde aquel entonces y hasta los manuales escolares modernos la geometría (precisamente geometría y no otras disciplinas matemáticas) se expone como una cadena de teoremas (algunos de ellos se llaman lemas o corolarios) construidos de acuerdo con un plan tan conocido que basta limitarnos a un breve recordativo. Cada teorema contiene la hipótesis («dado…») y la conclusión («se pide demostrar…»); al demostrar, se puede citar sólo axiomas o teoremas demostrados antes; no podemos apoyarnos ni en la «evidencia», que a veces nos engaña, ni en los teoremas aunque fueran ciertos, pero no demostrados (ya que los últimos pueden, a su vez, apoyarse en el teorema que se demuestra, y, entonces, se obtiene un «círculo lógico»).[…]

No se debe exagerar ni reducir el papel del plano. Sería exagerado considerar el plano como parte integrante necesaria de la demostración. Cualquier demostración geométrica puede llevarse a cabo teóricamente sin recurrir a plano alguno y esto tendría, incluso, un aspecto positivo suprimiendo referencias a la «evidencia» que a veces suele ser aparente y sirve de fuente de los errores. Sin embargo, en la práctica la renuncia al plano llevaría a las mismas dificultades que tendríamos al desear, por ejemplo, que los cálculos sobre números polidígitos siempre se realicen mentalmente (o, para tomar un ejemplo de un dominio más alejado, jugar al ajedrez sin mirar al tablero): en este caso el peligro de equivocarse aumentaría considerablemente.

Dubnov, Y. S. (1993). Errores en las demostraciones geométricas. Madrid: Rubiños, 5-7.

 

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A esta diversidad de acepciones geométricas del término centro se añade la diversidad de formulaciones lógicas según las cuales las acepciones geométricas pueden ser interpretadas. […]

Por otra parte, la involucración entre las clases y las relaciones, fundamento de su inseparabilidad, no es en todo caso uniforme o unívoca. No se trata de que las clases estén siempre involucradas con las relaciones, con cualquier tipo de relaciones. Hay relaciones de muchos tipos, y ésta es la razón por la cual no cabe considerar relaciones puras ni clases puras. […]

Porque hay otras muchas situaciones en las cuales las clases no son previas a las relaciones, sino que se generan a partir de determinadas relaciones, como ocurre, por ejemplo, en una relación R de varios a varios, cuyo campo es la reunión o suma lógica de su dominio y su codominio. Y tanto el campo como el dominio o el codominio son clases de términos que no son previos a la relación R, puesto que son generadas por ella.

Por otro lado, la involucración entre clases y relaciones tiene lugar no sólo cuando consideramos clases formadas a partir de relaciones, términos o elementos que participan de un mismo tipo lógico, sino que también tiene lugar cuando las relaciones se establecen entre elementos de diferente tipo lógico. […]

En general cabe decir que los formatos de clase pueden ser transformados en formatos de relaciones, sin que las transformaciones arrojen resultados equivalentes; ni siquiera los resultados son siempre coordinables, porque una misma clase puede transformarse en formatos diversos de relaciones entre términos pertenecientes a distintos tipos de unidad. La clase de los cubos puede representarse según tres sistemas de términos relacionados por la igualdad: doce términos arista iguales entre sí y perpendiculares tres a tres, ocho términos vértices iguales entre sí, o seis términos caras iguales entre sí (los hexaedros regulares). La equivalencia entre estos tres sistemas de términos relacionados y las relaciones entre ellos (por ejemplo, 12 = 8+6-2) no es trivial.

Bueno, Gustavo (2008), El mito de la derecha. Madrid: Temas de Hoy, 167-9.

 

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Sería inacabable seguir con los detalles, aunque no sea estéril para el astrólogo investigar esto más ampliamente. Pero ahora veamos la aritmética de los astrónomos y sus números sagrados 6,12, 60. Ahora bien, con la excepción del cuadrante y del sextante, esto es, del 15 y del 10, todos los submúltiplos de sesenta se encuentran en estos cinco cuerpos. (2) Viceversa, con la sola excepción de los ángulos planos del Octaedro y del Cubo, de los que cada uno de ellos tiene 24. Todos los demás elementos numerables son submúltiplos de sesenta; lo que me lleva a creer que difícilmente podría asignarse con más justeza a un número una realidad natural, ni siquiera por Pitágoras, que la justeza con que este número se asigna a los cinco sólidos susodichos.
Uno es el Cubo, Una la Pirámide, Uno el Dodecaedro, Uno el Icosaedro, Uno el Octaedro, Uno solitario y sin réplica.
Dos son los cuerpos secundarios; Dos los órdenes de los cuerpos; Dobles siempre las cosas semejantes una a otra; Dos las tales semejanzas.
Tres los ángulos de las bases en la Pirámide, el Icosaedro, el Octaedro, porque son bases trilaterales. Tres los sólidos primarios. Tres las clases de ángulos.

Cuatro los ángulos y los lados de la base del Cubo. Cuatro los ángulos sólidos de la Pirámide. Cuatro sus bases.
Cinco los sólidos. Cinco los ángulos y los lados de la base del Dodecaedro.
Seis los vértices del Octaedro. Seis las aristas de la Pirámide. Seis las bases del Cubo. Hermoso número.
Ocho las bases del Octaedro. Ocho los vértices del Cubo.
Doce las bases del Dodecaedro. Doce las aristas del Octaedro. Y también las del Cubo. Doce los vértices del Icosaedro. Doce los ángulos planos de la Pirámide.
He aquí que este número se halla en todos los cinco.
Veinte las bases del Icosaedro. Veinte los vértices del Dodecaedro.
Veinticuatro los ángulos planos del Octaedro y del Cubo. Este es un número ajeno, pero si gran importancia, y no completamente ajeno, pues resulta de dos veces 12, tres veces 8, cuatro veces 6, todos los cuales se hallan en 60.
Treinta son las aristas del Icosaedro y del Dodecaedro.
Sesenta son los ángulos planos del Dodecaedro y del Icosaedro.
Nada más que esto hay numerable, salvo que se quieran obtener las sumas de todas las aristas y ángulos, cosa que no viene a cuento. Se obtendría que los ángulos de las bases determinantes son 18. Las caras 50. También los vértices; los lados 90. Los ángulos planos 180. Todos números emparentados.

Kepler, Johannes (1992). El secreto del universo. Madrid: Alianza, 120-1.

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El modelo morfológico de transformación de la sociedad preurbana en el núcleo de la ciudad, se basa en el desarrollo de una de las eventualidades contenidas en nuestro modelo, a saber: que la heterogeneidad de la distribución presupuesta arroje una mayor concentración de riqueza elaborada (lo que supone corrientes comerciales definidas) y, correspondientemente, una mayor población en lugares próximos y privilegiados, ocupados por fracciones de A, B, C, por ejemplo, a consecuencia del río que serpentea por dichos lugares. Esta hipótesis permitiría regresar hacia una previa diferenciación dada en el ámbito de cada tribu, y, con estas premisas, el simple aumento del volumen global hacia su límite crítico permitirá comprender la afluencia de relaciones «transversales» (que configuran el rectángulo interior) entre los fragmentos privilegiados de las diferentes tribus vecinas entre sí. La novedad consiste en que comenzarán a prevalecer los intereses derivados de la vecindad sobre los intereses familiares que, por supuesto, no quedan abolidos. Pero las «familias» que ocupan los terrenos privilegiados encuentran en la vecindad de las familias «privilegiadas» de las otras tribus no solamente mercados efectivos, sino también posibilidad de una asociación nueva frente a las otras fracciones menos privilegiadas (eventualmente más) de sus tribus respectivas, a efectos de la inserción de los terrenos vecinos en un único recinto común (lo que equivaldrá, en muchos puntos, a una apropiación). En cualquier caso, las normas nuevas prevalecerán sobre las tradicionales o entrarán en conflicto con ellas, y el hermano que se atreva a saltar los límites artificiales del nuevo recinto será, como Remo, merecedor de la muerte. El mito de Rómulo, como el mito de Caín, sugiere que el proceso de segregación de las tribus, que conduce a la formación de la ciudad, desgarra de algún modo el tejido familiar y comporta tanta violencia y sangre como diálogos y negociaciones pacíficas y armoniosas. Es interesante subrayar la posibilidad de considerar, como una consecuencia de la reorganización de estas fracciones en el nuevo recinto urbano, el desdibujamiento de las propias lindes territoriales que las tribus mantenían en sus zonas extremales, puesto que precisamente las fracciones congregadas en la nueva ciudad miran ya a otro lado. El proceso de «concentración» en la ciudad no equivale, ya desde el principio, a un repliegue defensivo a la fortaleza, porque precisamente está determinado a partir de las corrientes que proceden de fuera, no ya del recinto, sino incluso del área tribal (en términos, en principio, ilimitados). Queremos subrayar que la idea del núcleo de la ciudad, en el sentido teórico en el que estamos hablando, no solamente ha de tener aplicación en las situaciones originarias, en el proceso de formación de las ciudades primigenias, sino también en el curso avanzado de su proceso de desarrollo. Por decirlo así, la teoría del núcleo-vórtice se aplica no solamente a la ciudad neolítica, sino también a una ciudad moderna, aunque a otra escala: Madrid, cuyo emplazamiento fue escogido por su posición como centro peninsular (equidistante de las corrientes comerciales que pasaban por Santander y Sevilla) es un ejemplo de gran ciudad moderna, que sólo se explica a partir de los flujos mundiales de hombres y mercancías que confluían y difluían en España tras el descubrimiento de América.

Bueno, Gustavo (1989). Teoría general de la ciudad, Ábaco, N º 6, 42.

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El pluralismo característico del materialismo filosófico se refleja también en el anomalismo de las categorías: las categorías no están dadas en el Mundo; se construyen dentro a medida en que las concatenaciones cerradas van estableciéndose, partiendo de diferentes puntos de cristalización, y «dejando fuera» a lo que no puede incorporarse a esa concatenación.

La concepción anomalista de la unidad de las Matemáticas entiende, por tanto, la unidad de su campo categorial no como la propia de una «multiplicidad de términos homogéneos», sino como la que vincula a diversas regiones de multiplicidades, en principio organizadas de modo independiente (las que dan lugar a la teoría de los conjuntos, o a la Geometría métrica o a la Geometría sin medidas de Poncelet, o al cálculo diferencial, o a las estructuras-madres algebraicas, topológicas y de ordenación). Las mismas categorías estructurales a las que se refieren los matemáticos bourbakistas son múltiples, y muchas veces se comportan como si fueran independientes entre sí.

Bueno, Gustavo (2000). Las matemáticas como disciplina científica. Ábaco, Nº 25-26, 71.

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Entonces, ¿qué ocurre? Esta asimilación de la filosofía a las facultades de ciencias, con todo lo que implica, particularmente, con la organiza­ción burocrática de la filosofía en los planes de estudio, en ese estado donde son los Vectores, los Butanos, los Metanos y los Propanos los que em­piezan a organizar absolutamente todo lo que es la filosofía… Entonces, ¿qué ocurre? Ocurre lo siguiente, verán, y voy ya directamente a lo que me concierne. Ocurre que cuando hay un sistema filosófico que es aceptado por un grupo cada vez más amplio, cuando hay un sistema que requiere una institucionalización, que es lo que pretendi­mos hacer cuando logramos que se crease aquí hace tan sólo 20 años la facultad de filosofía en Asturias, primero en Gijón y luego en Oviedo, cuando intentamos formar efectivamente esta fa­cultad y funcionar durante algunos años como una academia donde había muchos profesores muy competentes y donde todos estábamos compenetrados, con una visión de conjunto donde te­nía sentido que unos explicasen una cosa y otros otra —era necesario: había una visión de conjunto. Y lo hacíamos así no porque fuéramos dogmáti­cos, ni mucho menos. Habíamos tomado partido, y tomar partido no quiere decir ser dogmático, quiere decir tomar partido para poder considerar a los partidos opuestos dialécticamente. Así, to­mar partido no quiere decir ser dogmático, sino más bien al revés; es imposible, en una visión dialéctica de la filosofía, ser dogmático, es impo­sible que uno diga nada dialécticamente de otro sin conocer al otro, al enemigo. «Conviene cono­cer al enemigo», decían los romanos en un famo­so lema militar. Es imposible que los que son contrarios no tengan relación entre sí, tienen que conocer más y mejor al enemigo. Por eso noso­tros intentamos utilizar la filosofía no dogmática­mente, sino para exponer un sistema global co­herente. En ese momento, la burocracia comenzó enteramente a aguar el proyecto, a descomponer­lo. ¿Cómo? Muy sencillo: enviando profesores especialistas. Excuso decir lo que ha pasado. Hoy lo tienen ustedes en clase. Sencillamente, los es­pecialistas, poco a poco, van enrareciendo la atmósfera, se mezclan cuestiones burocráticas y entonces resulta que cuando hay alguien a quien los alumnos reclaman para que siga siendo su profesor emérito —éste no puede porque lo han hecho honorario—, los estudiantes ven completa­mente la situación burocrática en el que convi­ven. Porque, efectivamente, se aplica un regla­mento, pero el reglamento esta hecho ad hoc pa­ra que se aplique así. Atención: hay un regla­mento, sin duda, un reglamento que les manda el Vicerrector. ¿Por qué? Porque el reglamento se ha hecho de acuerdo con los especialistas. Esa es la madre del cordero. Se trata, entonces, de que esta situación, esta sumisión a terceras personas que demuestra sencillamente que no se quiere que de ninguna manera los especialistas queden en ridículo, de romperla. Se trata de romperla, romper lo nudos de la burocracia. Cuando hemos invitado a los especialistas a colaborar en nuestra revista han renunciado. Han utilizado el periódi­co para acusar de una cosa o de otra. Eso se de­muestra en revistas de filosofía, no en un perió­dico en media columna, pues lo que se dice son puras infamias o acusaciones que no se pueden demostrar. Cuando sencillamente se invoca el re­glamento que impide que les dé clase, es que ese reglamento, que es la burocracia, hace falta rom­perlo. Ustedes, en este momento, o al menos así lo veo yo, están representando el vigor de siem­pre, el vigor de la juventud de siempre que no se puede perder. El vigor de la juventud cada vez más vieja pero que conserva necesariamente, puesto que si no habría que practicar un suicidio cósmico, ¿verdad? Ese vigor que arremete contra la burocracia. Yo en ustedes estoy viendo el mis­mo espíritu de Mayo del 68 francés, o más bien el de las huelgas asturianas del 62. Es exacta­mente lo mismo: la rebelión contra la burocracia. Y ya saben, la burocracia tiene mil procedimien­tos para engañar, para dar largas, pero hay una re­sistencia total de quien no quiere estar encerrado de ninguna manera en las mallas. Hace falta, por lo tanto, que este vigor de esta facultad se cana­lice burocráticamente en la academia. No es sufi­ciente el que, por ejemplo, yo diera clases aquí en la escalera o donde fuera. Entonces habríamos perdido la batalla.

Bueno, Gustavo (1998), Última lección en la Universidad, Limitaneus. La revista de Filosofía de los Alumnos de la Universidad de Oviedo. Nº 2, 11.

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Sólo bastante recientemente, casi de manera incidental, vine a descubrir la obra de Aristóteles. Casi inmediatamente me sentí fascinado por esa lectura. Sabía por cierto que el esquema hilemorfista —que yo utilizo en el formalismo de las catástrofes— tenía su origen en la obra del estagirita. Pero ignoraba lo esencial, a saber, que en su Física Aristóteles había intentado construir una teoría del mundo fundada, no en el número, sino en el continuo. Aristóteles había realizado así (por lo menos parcialmente) el sueño que yo siempre alimenté de desarrollar una «matemática del continuo» que tomara el continuo como concepto de partida sin apelar (de ser posible) a la generatividad intrínseca del número.

El programa filosófico que me había propuesto en el caso de la teoría de las catástrofes, es decir, geometrizar el pensamiento y la actividad lingüística, es un programa que se encuentra mucho mejor que esbozado y ya, en gran medida, realizado en Aristóteles, aunque sea a costa de algunas equivalencias terminológicas tales como νλη = espacio cualitativo y paso del género a las especies = bifurcación.

Sin embargo, Aristóteles tiene mala fama entre los matemáticos; sufre de la comparación con su maestro Platón que en este dominio goza tal vez de una reputación usurpada. Aristóteles fue durante siglos (tal vez durante milenios) el único pensador del continuo, y para mí en esto consiste su mérito esencial. Desde luego ello implica una visión un poco particular de las entidades geométricas. Ni Dedekind ni Cantor la consideraron; se trata de una geometría fundada únicamente en la intuición del continuo. Un segmento de recta no está compuesto de puntos; está solamente compuesto de subsegmentos. El punto solo, el punto aislado (digamos O en el eje x’x) sólo existe «en potencia»; aspira al acto desdoblándose en dos puntos: O1y O2; O1 se adhiere a la izquierda y O2 se adhiere a la derecha; como esos dos puntos son pues distintos, aunque están juntos (αμα), los dos semisegmentos así limitados llegan entonces a la existencia plena, a ser en acto.

Thom, René (1990). Esbozo de una Semiofísica. Física aristotélica y teoría de las catástrofes. Barcelona: Gedisa, 14-5.

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